フイルタの勉強
Ver.1.004　2008.10.26

更新履歴　2007. 2.12　新規作成
更新履歴　2007. 6 .8　Ver.1.001
更新履歴　2007. 6.10 Ver.1.002
更新履歴　2008.10.12 Ver.1.003
更新履歴　2008.10.26 Ver.1.004

【参考文献】
１．電機学会大学講座　電気回路論（改訂版）　電気学会　昭和50年　13版
２．電子フィルタ　回路設計ハンドブック　A.B.ウイリアムズ著　加藤康雄　監訳　マグロウヒル社
３．アナログフィルタの設計　M.E.VALKENBURG著　柳沢健　監訳　金井　元　他訳　秋葉出版
４．工学基礎　ラプラス変換とZ変換　原島博・堀洋一共著　数理工学社
５．アナログフィルタの設計と解析　堀敏夫著　電波新聞社

【はじめに】

フィルタはいろんなところで利用されています｡これを勉強してゆきたいと思います｡

さて、以下においては,文献3の定義に従い,

　　　　　　　　図　1.1　定義

入力端子1-1'に電圧源ｖ１が接続されているものとします｡また、ｖ１の位相をθ1、v2の位相θ2をとします｡伝達関数は、

と定義します｡

伝達の大きさは、

位相は、
　　
となります。測定においては,一般的はθ1=0としますので以後はθ1=0ということです。

また、測定においては,伝達の大きさを

のようにして、Aをゲインといいます。これはｄBという単位がつきます｡

余談ですが、入力レベルの大きさは、基準を1mW600Ωのレベルを（0.774597Vrmsですが）0dBmとしたdBmという表記があります｡
また、１Vrmsを基準としたdBVという表記もあります｡

ですから、

という関係があります｡ですからdBm値に-2.2185を足せばdBVになります｡たとえば,

として変換できます｡


さて、ここでは、正弦波定常状態を扱うので,

とします。これについては,後でふれます｡

さて、Tは(4)式をつかって、複素数で表せ,極座標では

のReのついたほうを実部といい、Imのついたほうを虚部といいます。


を振幅といいます｡
また、

を位相といいます｡

【極と零点】
Tは、

とあらすと、分子を０にするs=-z₀,s=-z₁などを零点と呼び,分母を０にするs=-p₀,s=-p₁などを極といいます｡
式（８）からわかるように,極、零点ともｋとは関係ありません｡


　　　図２　CRフィルタ（LPF)　その１
この回路は,

となるので,零点は無く極のみあり、

となります｡

また、下の回路では,

図　３　CRフィルタ（HPF)　その２
この回路は、


となるので、零点,極は

となります｡

では、これはどうでしょう｡

　図4　CRフィルタ　　その３


図３との違いは

と

だけですね｡




図５　CRフィルタ　　その４



零点と極を求めると,

です。



図６　CRフィルタ　　　その５

です。また、

です。

以上で,零点、極の求め方がわかりました｡

では、周波数特性とか位相特性はどうなっているでしょうか｡

図2のLPFの場合､

という伝達関数になります｡ここではPは極ではなく定数を表すものとします｡
P=1/CRです。これをを見てみましょう｡（４）式より、

となります。ここで､

としますと、

と求まります｡これをデシベルにしましょう｡

となります。いま、

であるとすると

この振幅特性が-3dB落ちるところをカットオフ周波数といいます｡
（６）式の実部と虚部の絶対値が均しくなる周波数です｡したがって、(7)式より
|θ|=45°になります｡

また、

であるとすると


さらに、

であるとすると

さらに、

であるとすると

最後に､

であるとすると

となります。

ωがさらに大きくなると次のように近似出来ます。減衰量は

と表せ､ωに応じてどんどん大きくなります｡

とおくと


となり、n=2なら-6dB/oct、n=10なら-20dB/decとなります｡

-6dB/octというのは、octave（周波数が倍になる）毎に-6dB落ちるという意味です。
-20dB/decというのは、decade（周波数が10倍になる）毎に-20dB落ちるという意味です｡

これをグラフにすると

　　　　　図7　|T|の特性　　（ω₀=1/2πのとき）

になります｡数値が多少ずれています。

さて、位相は

より、

となります。でθ=-45°になります｡

ωが０ならθ=0になり、ωが∞になるとθ=-90になりますね｡

これをグラフにすると

　　　　図8　位相特性（緑）　振幅特性（赤）　（ω₀=1/2πのとき）

となります｡振幅特性の傾きは-6dB/oct（あるいは-20dB/dec)です。

では、図３のHPFの場合も見てみましょう｡

となります。Pは極でなく定数でありP=1/CRです。またP=ω₀とするものとします｡


これをデシベルにして､


そこで、

のとき､

となります。これをカットオフ周波数といいます｡

また、

のとき､

で、さらに、

のときは

で、また、

のときは、

で、最後に

のとき、

となります｡さらに、ω<<ω₀　になるとどうでしょうか｡
そこで、

とすると　ω<<ω₀　ですから近似すると､

です。n=2なら-6dB/oct、n=10なら-20dB/decになります｡しかし、ｎが大きくなると周波数が下がる方向なので
周波数が増える方向で考えると6dB/oct、20dB/decとなります｡

また、位相は

より、ω<<ω₀　ではθ≒90°、ω=ω₀　では45°、ω=∞では0°となります｡

グラフにすると､

　　　図９　位相特性（緑）　振幅特性（赤）　（ω₀=1/2π)

となり、ハイパスフィルタであることがわかります｡振幅特性の傾きは6dB/oct（あるいは20dB/dec)です。

さて、フィルタとは、どういうものか整理してみます｡


フィルタは基本的にこの4つに分けられます｡阻止帯域とは、この周波数は通過を阻止するということで、通過帯域とはこの周波数は通過できるということです｡
この図では、通過帯域と阻止帯域が垂直に切り分けられていますが、実際は傾斜を持ちます｡


たとえば、こうなるわけです｡

さて、もとに戻って

図１０　LC　LPF

この回路の場合、

これは、既にでてきたCR　LPFとおなじですね。
　　　　　　

また、

図１１　LC　HPF

この回路の場合、

　　　

となり、これは既に出てきたCR　HPFとおなじですね。


では、まだ説明のしてない一般的なs式の振る舞いについて見てみます｡


この場合どうなるでしょうか。

この場合、P=0ですね。ωが2倍になると-6dBづつへってゆきますね。
また位相は,
　　　　　　　　　　　

図12　T(s)=a/sの周波数特性　緑　位相特性(-90°）　赤　ゲイン特性

これは積分器の特性です｡

では、


この場合、z=0です。
グラフは右上がりの直線になります｡その傾きはωが2倍になると6dBづつふえてゆきますね。

位相は

となり、90°です。
これは、微分器の特性です｡

これまででてきた結果をまとめると次のようになります｡

図１３　ボーデ線図

さて、

図１４　

この回路を見てみましょう｡


より、


となります｡ここで　p　<　z　です。
また、

したがって、

図１５
となります｡

では、

図１６
この回路はどうでしょう｡

より、

です。ここではz　<　pですね。
また、

したがって、

図１７
となります｡

この2つの回路は、
T(0),T(∞）は入れ替わっていますが、値は同じです｡


と表されます。
pとzの大小関係によって、LPF的であったり、HPF的であったりします｡

メインページに戻る